Đạo hàm là gì? Khái niệm và công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao
Kiến thức cơ bản

Đạo hàm là gì? Khái niệm và công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao

Ngân Hà
Ngân Hà

28/03/20223 phút đọc

Mục lục bài viết

Với mong muốn lan tỏa tri thức đến tất cả bạn đọc trên mọi miền Tổ quốc. Trong bài viết này Monkey xin chia sẻ đến bạn đọc công thức đạo hàm đầy đủ nhất từ A đến Z. Bài viết này sẽ giúp bạn ôn lại được những kiến thức về đạo hàm một cách đơn giản. Nào hãy cùng theo dõi những thông tin bên dưới đây nhé!

Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm

Trước khi tìm hiểu các công thức đạo hàm, hãy cùng Monkey nắm bắt được thế nào là đạo hàm và ý nghĩa của chúng trong quá học là gì nhé.

Đạo hàm là gì ?

Trong giải tích toán học, đạo hàm là một hàm số mô tả sự biến thiên tại một điểm. Hay nói một cách khác đạo hàm chính là tỉ số giữ số gia và hàm số tại một điểm x0. Độ lớn của biến thiên và chiều biến thiên thể hiện giá trị của đạo hàm.

Tuy nhiên theo định nghĩa khác của Wikipedia thì đạo hàm được hiểu là sự biến thiên lên xuống của hàm số tại điểm biến thiên. Ngoài ra trong Vật Lý đạo hàm được coi là vận tốc tức thời khi một vật đang di chuyển.

Đạo hàm của hàm số y=f(x) được ký hiệu bằng y′(x0) hoặc f′(x0):

  • Số gia của đối số là Δx=x−x0
  • Số gia của hàm số là Δy=y−y0

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa của đạo hàm được biểu diễn thông qua 2 phương diện. Một là phương diện hình học trong Toán Học, hai là phương diện Vật Lý. 

Về phương diện hình học cụ thể trong Toán Học lớp 11 đạo hàm có ý nghĩa như sau: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại , gọi (C) là đồ thị hàm số đó.

Về phương diện Vật Lý, đạo hàm 11 được coi là vận tốc tức thời khi một vật đang di chuyển. Cụ thể ta xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời được xác định tại thời điểm t0 chính là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0.

Những quy tắc cơ bản khi áp dụng công thức đạo hàm lớp 11

Tổng hợp công thức tính đạo hàm đầy đủ nhất hiện nay

Công thức tính đạo hàm được thể hiện thông qua một số công thức sau đây:

1. Công thức đạo hàm cơ bản

Trong quá trình học tập nếu kiến thức không được rèn luyện, mài dũa sẽ rất nhanh quên. Công thức đạo hàm cũng vậy, dưới đây là bảng full đầy đủ công thức đạo hàm cơ bản bao gồm: 

  • Đạo hàm của f(x) với x là biến số

  • Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số

  • Đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ

Bảng công thức đạo hàm cơ bản (Ảnh: Sưu tầm Internet)

2. Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác ngược và các hàm lượng giác

Bảng công thức đạo hàm lượng giác ( Ảnh: Sưu tầm Internet)

3. Công thức tính đạo hàm sơ cấp

4. Công thức tính đạo hàm cấp cao

Đạo hàm và nguyên hàm trong toán học

Ở những thông tin phía trên bạn đọc đã được làm quen với khái niệm đạo hàm. Vậy còn nguyên hàm trong toán học là gì ? Đạo hàm và nguyên hàm có mối liên hệ nào ? 

Nguyên hàm của hàm số thực cho trước f là một hàm F. Hàm F có đạo hàm bằng f. Tính phân bất định chính là quá trình tìm nguyên hàm. Việc tìm biểu thức cho nguyên hàm sẽ khó hơn so với tìm đạo hàm.

Trong toán học nguyên hàm được coi là phần con của đạo hàm. Bởi nguyên hàm được định nghĩa từ đạo hàm. Hay nói cách khác phép tính ngược lại của tìm đạo hàm là tìm nguyên hàm. Qua đó có thể thấy đạo hàm và nguyên hàm trong toán học có mối liên hệ mật thiết với nhau.

XÂY DỰNG NỀN TẢNG TOÁN HỌC VỮNG CHẮC CHO TRẺ TỪ NHỎ VỚI ĐA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC, CHI PHÍ CỰC RẺ CHƯA ĐẾN 2K/NGÀY CÙNG MONKEY MATH.

 

Các dạng toán áp dụng công thức đạo hàm và nguyên hàm

Dưới đây là tổng hợp một số dạng toán, bài tập kèm ví dụ để các em nắm bắt và hiểu rõ hơn khi áp dụng các công thức đạo hàm:

Dạng 1: Dùng khái niệm định nghĩa tính đạo hàm

Đây là một trong những dạng toán đạo hàm cơ bản, với cách giải đơn giản nhất trong các bài tập. Để giải bài tập, các em sẽ dựa vào định nghĩa, áp dụng công thức cơ bản để tính toán chính xác. Cụ thể:

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan đạo hàm

Ở dạng bài tập này sẽ thường yêu cầu chứng minh hệ thức nào đó dựa vào điều kiện có sẵn. Đòi hỏi học sinh phải tính toán, chứng minh đẳng thức liên quan đến đạo hàm sao cho chính xác và đưa ra kết quả cuối cùng.

Dạng 3: Biết tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến

Đây là dạng bài tập áp dụng các công thức đạo hàm khá phổ biến. Cụ thể đề bài thường sẽ đưa ra một phương trình tiếp tuyến của hàm số của một đồ thị đường cong (C): y= f(x), với một tiếp điểm M(x0 ; y0) cho sẵn, có dạng: y = y’(x0)(x-x0) + y0. Nên chỉ thay thế các dữ liệu đã cho sẽ tìm được đáp án chính xác.

Ví dụ: Cho một hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là một tham số thực. Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A( 1;2).

TXD: D = R

y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1

Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Ta có A ( 1;2) (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2  => m = 5/8

Dạng 4: Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

Hãy viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C ) : y = f( x ), biết Δ có hệ số góc là k cho trước

Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)

Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x0 ) = k (i)

x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x – x0 )+ y0

Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau:

Ví dụ: Cho hàm số y=x3 +3 × 2 - 9x + 5 ( C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C ).

Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x – 9

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9

Ta có 3 x02 + 6×0– 9 =3 ( x02+ 2×0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12

Vậy min f( x0)= – 12 tại x0= -1 => y0=16

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4

Dạng 5: Bất phương trình và phương trình có đạo hàm

Dạng toán này sẽ phải kết hợp nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm để có thể giải bất phương trình hay phương trình để tìm được kết quả chính xác.

Dạng 6: Dùng công thức đạo hàm nguyên hàm

Ở dạng bài tập này đòi hỏi các em phải nắm vững các công thức đạo hàm lớp 11 đã chia sẻ trên. Nếu trường hợp có những hàm số phức tạp xuất hiện, các em có thể rút gọn hàm số rồi mới tiến hành đạo hàm chúng, nhất là những hàm lượng giác.

Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao

Đối với các bài tập đạo hàm cấp cao thường thiên về tính đạo hàm cấp 2 trở lên, nên mọi người có thể áp dụng các công thức đạo hàm cấp cao trên hoặc y(n) = (y(n-1))’.

Ngoài ra, để tính đạo hàm cấp n, các em sẽ phải tính đạo hàm từ cấp 1, 2, 3… rồi từ đó suy luận ra công thức tính đạo hàm cấp n.

Một số bài tập tính đạo hàm tự luyện

Dưới đây là một số bài tập để các em có thể áp dụng những công thức đạo hàm nguyên hàm trên cùng luyện tập:

(Nguồn: Tổng hợp)

Xem thêm: Đạo hàm logarit là gì? Kiến thức về đạo hàm đầy đủ và chính xác nhất

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học mà còn nhiều lĩnh vực khác. Dưới đây là một số ứng dụng của đạo hàm:

Trong Toán Học đạo hàm có ứng dụng là tiếp tuyến của đường con phẳng và là phương trình tiếp tuyến.

Ứng dụng thực tế của đạo hàm trong cuộc sống (Ảnh: Sưu tầm Internet)

Trong Vật Lý đạo hàm giúp chúng ta tính toán được:

  • Vận tốc tức thời.

  • Cường độ tức thời của dòng điện.

  • Gia tốc tức thời

Trong cuộc sống đạo hàm được ứng dụng trên đồng hồ của xe máy hoặc ứng dụng khi tính toán thời gian vận động viên thi chạy, bơi tiếp sức… Qua những thông tin trên có thể thấy đạo hàm có khá nhiều ứng dụng ở các lĩnh vực khác nhau.

Ứng dụng của đạo hàm trên đồng hồ xe máy (Ảnh: Sưu tầm Internet)

Phương pháp và cách giải đạo hàm nhanh nhất

Để nắm được các kiến thức về đạo hàm từ đó ứng dụng vào giải các bài tập thực tế. Trước tiên bạn cần nắm vững lý thuyết về đạo hàm từ định nghĩa, tính chất, ý nghĩa, công thức (đạo hàm phép nhân, chia, công thức đạo hàm trị tuyệt đối ….). Sau đó cần vận dụng những kiến thức đã học để ứng dụng vào giải bài tập. 

Làm nhiều và đa dạng các loại bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức hơn. Lý thuyết luôn đi đôi với thực hành vì vậy hãy cố gắng vận dụng cả 2 yếu tố để học tốt hơn nhé.

Bên cạnh đó, hiện nay việc học các kiến thức từ trường lớp thôi là chưa đủ. Bạn có thể tìm tòi thêm nhiều kiến thức trên mạng. Một số trang web tính đạo hàm online miễn phí sẽ giúp bạn kiểm tra chính xác đáp án nhanh nhất. Bạn có thể tính đạo hàm mathway ngay tại trang web của mathway, hay tại chuyên mục "kiến thức cơ bản" của Monkey cũng có nhiều chuyên mục về đạo hàm để các em tham khảo thêm.

Trên đây là những kiến thức bổ ích về công thức đạo hàm hay gặp nhất. Hy vọng thông qua bài viết bạn đã nắm được các công thức đạo hàm và ứng dụng của nó trong thực tế. Từ đó vận dụng để giải quyết bài tập và đạt kết quả học thật tốt.

Ngân Hà
Ngân Hà
Biên tập viên tại Monkey

Tôi là Ngân Hà (Aly Ngân), biên tập viên đã có hơn 2 năm đảm nhận vị trí Content Marketing chuyên nghiệp, có kiến thức và kinh nghiệm viết bài về lĩnh vực giáo dục và sức khỏe,...

Bài viết liên quan

Bạn đang quan tâm đến các kiến thức nuôi dạy con đúng cách và hiệu quả?

Nhận tư vấn Monkey