Đạo hàm trị tuyệt đối: Công thức chuẩn + 20 bài tập có lời giải chi tiết

Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?

Đạo hàm hàm trị tuyệt đối là công thức toán học được dùng để tính giá trị tuyệt đối của một giá trị (một con số) trong đạo hàm. Trước tiên để có cái nhìn tổng quát về đạo hàm của trị tuyệt đối, cần nắm bắt chi tiết đạo hàm là gì.

Ví dụ:

Hoặc

Trong đó:

• Số gia của đối số là: ∆x=x – x0

• Số gia của hàm số là: ∆y=y – y0

Dựa vào công thức đạo hàm của trị tuyệt đối ban đầu, ta sẽ bắt đầu tính hàm số y = |x|

Thay giá trị |x| vào, ta sẽ tính đạo đạo hàm của y' bằng cách:

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x=0, bởi vì hàm số y=|x| là 1 hàm số không liên tục và có dạng:

• y= x nếu x >= 0

• y= -x nếu x < 0

Nhìn vào đồ thị y = |x| sẽ giúp bạn đọc dễ hình dung vị trí của y = |x| và xác định đúng giá của của |x|.

Các công thức đạo hàm hàm trị tuyệt đối

Để giúp cho học sinh cũng như các bậc phụ huynh tìm ra giải pháp nhanh nhất cho các bài toán đạo hàm trị tuyệt đối của x phức tạp, Monkey xin giới thiệu công thức tính đạo hàm trị tuyệt đối siêu nhanh dưới đây:

Công thức đạo hàm giá trị tuyệt đối chung của đạo hàm hàm số chứa trị tuyệt đối

Sau đây sẽ là một vài công thức đạo hàm trị tuyệt đối của x cơ bản nhằm mục đích giúp người học tập nhận biết, áp dụng đúng công thức cho mỗi phương trình khác nhau. Cuối cùng là, tập luyện nâng cao dựa trên các kiến thức đạo hàm hàm trị tuyệt đối tổng quát.

Các bài viết không thể bỏ lỡ

Monkey Math - Ứng dụng xây dựng nền tảng toán vững chắc cho trẻ 3 - 8 tuổi

Đạo hàm 1/x là gì? Các dạng bài tập và cách giải đạo hàm của 1 phần x chi tiết nhất

Công thức đạo hàm nâng cao 11 và tuyệt chiêu giải bài tập cực đỉnh học sinh nên biết

Công thức tính đạo hàm trị tuyệt đối của |x| là gì?

Dựa vào công thức đạo hàm của trị tuyệt đối x ban đầu, ta sẽ bắt đầu tính hàm số y=x

Thay giá trị x vào, ta sẽ tính đạo đạo hàm của y' bằng cách:

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x=0, bởi vì hàm số y=|x| là 1 hàm số không liên tục và có dạng:

• y= x nếu x >= 0

• y= -x nếu x < 0

Đến bước này, ta có thể áp dụng các công thức cộng trừ nhân chia thông thường để tìm ra đáp án cuối cùng cho phương trình:

Tóm gọn lại, ví dụ sau đây cũng chính là cách thức tính đạo hàm giá trị tuyệt đối cơ bản cho một hàm số y=|x|.

Xem thêm: Tất tận tật kiến thức về đạo hàm căn: Căn bậc 3, căn u, căn x, căn logarit,...

Một số công thức tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối

Các công thức tính đạo hàm trị tuyệt đối x:

• Hàm số phân thức bậc nhất:

• Hàm số phân thức bậc hai:

• Hàm số đa thức bậc ba:

• Hàm số trùng phương:

• Hàm số chứa căn bậc hai:

• Hàm số chứa trị số tuyệt đối:

Một số dạng bài tập đạo hàm của giá trị tuyệt đối tự luyện 

Để giúp học sinh củng cố bài học, sau đây sẽ là những bài tập cơ bản của đạo hàm của giá trị tuyệt đối. Quý phụ huynh có thể tham khảo ngay sau đây. Mục đích chính của các bài tập này là giúp học sinh tiếp cận với công thức đạo hàm trị tuyệt đối; đồng thời củng cố kiến thức cho các sĩ tử sắp sửa phải đối đầu với kỳ thi THPT quan trọng.

FAQ - Một số câu hỏi thường gặp về đạo hàm của hàm trị tuyệt đối

Hàm trị tuyệt đối |x| có đạo hàm không?

Có đạo hàm tại mọi điểm trừ x = 0.

Tại x = 0, hàm bị gấp khúc nên không có đạo hàm.

Đạo hàm của |x| là gì?

(|x|)' =

1, nếu x > 0

-1, nếu x < 0

không xác định, nếu x = 0.

Tại sao |u(x)| không có đạo hàm tại điểm u(x) = 0?

Vì tại điểm đó biểu thức đạo hàm trị tuyệt đối u có dạng giống |x| tại x = 0 (bị gấp khúc).

Đạo hàm giá trị tuyệt đối của u trái và phải khác nhau, nên đạo hàm không tồn tại.

Cách tìm đạo hàm khi gặp biểu thức dạng |u(x)|?

Quy trình:

(1) Giải u(x) = 0

(2) Xét dấu của u(x) trên các khoảng

(3) Bỏ trị tuyệt đối theo từng khoảng

(4) Lấy đạo hàm như bình thường

(5) Tại điểm u(x) = 0, kiểm tra đạo hàm trái và phải.

Đạo hàm có trị tuyệt đối của |ax + b| là gì?

(|ax + b|)' =

a, nếu ax + b > 0

-a, nếu ax + b < 0

Không có đạo hàm tại x = -b/a.

Làm sao đạo hàm biểu thức có nhiều trị tuyệt đối?

Ví dụ: |x - 1| + |x + 2|

Cách làm:

• Tìm các điểm đổi dấu: x = -2 và x = 1
• Chia thành các khoảng: (-∞, -2), (-2, 1), (1, +∞)
• Trên từng khoảng, bỏ trị tuyệt đối và đạo hàm như bình thường.

Khi nào có thể viết |x| = x?

Khi x ≥ 0.

Khi x < 0, phải viết |x| = -x.

Có thể dùng đạo hàm một phía cho trị tuyệt đối không?

Có. Ví dụ tại x = 0:

• Đạo hàm trái: (|x|)'- = -1
• Đạo hàm phải: (|x|)'+ = 1

Vì hai đạo hàm một phía khác nhau nên đạo hàm không tồn tại tại x = 0.

Hy vọng rằng, Monkey đã giúp bạn hình dung và nắm bắt rõ các kiến thức cơ bản nhất của đạo hàm trị tuyệt đối. Nắm chắc kiến thức, bình tĩnh làm bài và vượt qua các thử thách đạo hàm trước mặt ngay nào! Monkey hân hạnh là người đồng hành cùng các bạn trong chặng đường giải toán phía trước.