Hàm số đồng biến trên R (& nghịch biến trên R) khi nào?

Video bài giảng được tạo bởi notebooklm.google.com

Khi nào hàm số đồng biến trên r? hàm số nghịch biến trên r khi nào?

Trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số đồng biến trên r, điều kiện trước tiên là hàm số phải xác định trên R đã.

Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên R. Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Hàm số y=f(x) xác định trên R.

• Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên R.

Ở điều kiện thứ 2 để hàm số đồng biến trên r chúng ta cần chú ý là y’ có thể bằng 0 nhưng chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm (hoặc số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập đếm được).

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện hàm số luôn đồng biến trên r, như sau:

Hàm số đa thức bậc 1

Hàm số đa thức bậc 3

Lưu ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được, ví dụ như: Hàm số bậc 2, 4,...

Định lí về tính đồng biến & nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Cách xác định hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Cách xác định hàm số đồng biến trên R

Hàm số được gọi là đồng biến trên ℝ khi giá trị của hàm tăng dần theo biến số x.

Cách xác định:

• Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f'(x).
• Bước 2: Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ, thì hàm đồng biến trên ℝ.

Ví dụ:
Hàm f(x) = 2x + 3 có đạo hàm f'(x) = 2 > 0.
Kết luận: Hàm số đồng biến trên ℝ.

Cách xác định hàm số nghịch biến trên R

Hàm số được gọi là nghịch biến trên ℝ khi giá trị của hàm giảm dần theo biến số x.

Cách xác định:

• Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f'(x).
• Bước 2: Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ, thì hàm nghịch biến trên ℝ.

Ví dụ:
Hàm f(x) = -3x + 1 có đạo hàm f'(x) = -3 < 0.
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Các bài viết không thể bỏ lỡ

Monkey Math - Ứng dụng học toán tiếng Anh chỉ với 2K/Ngày

Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết

Các dạng bài tập về hàm số đồng biến, nghịch biến trên R thường gặp

Dưới đây là tổng hợp một số dạng bài tập liên quan tới điều kiện hàm số đồng biến trên r để các em áp dụng và thực hành:

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

• f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

• f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

• Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

• Lập bảng xét dấu f’(x)

• Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Ta có: f’(x) = -6x2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Kiến thức chung

• Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

• Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

Chú ý: Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d

• Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

• Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  sao cho |x1 – x2| = k

Ví dụ: Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1  luôn đồng biến khi:

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương

• Bước 1: Tìm tập xác định

• Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

• Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Bảng biến thiên:

Các bài tập mẫu khác

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x³+2(m-1)x²+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Hướng dẫn giải: 

Để y=x³+2(m-1)x²+3x-2  đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3≤0⇔-3≤m-1≤3⇔-2≤m≤4.

Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.

Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx³-mx²-(m+4)x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải: 

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m≠0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m²+3m(m+4)≤0. Giải các điều kiện ra ta được -3≤m<0.

Kết hợp 2 trường hợp ta được -3≤m≤0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập tính hàm số đồng biến, nghịch biến trên r tự luyện

[FAQ] Mọi người cũng hỏi về hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

1. Hàm bậc hai có thể đồng biến hoặc nghịch biến trên ℝ không?

Không, vì đạo hàm của hàm bậc hai là hàm bậc nhất, dấu của đạo hàm thay đổi, nên hàm chỉ đồng biến hoặc nghịch biến từng khoảng.

2. Hàm số có thể đổi từ đồng biến sang nghịch biến không?

Có, tại điểm mà đạo hàm đổi dấu, đó thường là điểm cực trị của hàm.

3. Tại sao cần xét đạo hàm khi tìm tính biến thiên của hàm số?

Vì đạo hàm thể hiện tốc độ thay đổi của hàm, giúp xác định xu hướng tăng hoặc giảm của đồ thị.

Trên đây là tất cả các kiến thức và dạng bài tập về hàm số đồng biến trên r. Bên cạnh đó Monkey còn bổ sung thêm các định nghĩa về hàm số nói chung và các dạng hàm số nói riêng như: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai,... Hàm số lượng giác, hàm số logarit và hàm số mũ.

Hy vọng với những chia sẻ trên đây của Monkey sẽ giúp bạn phần nào trong việc ôn tập và ghi nhớ các kiến thức cần thiết trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia. Xin được đồng hành cùng bạn!