Hàm số đồng biến trên r khi nào? Và các dạng bài tập ứng dụng từ cơ bản đến nâng cao
Kiến thức cơ bản

Hàm số đồng biến trên r khi nào? Và các dạng bài tập ứng dụng từ cơ bản đến nâng cao

Ngân Hà
Ngân Hà

25/03/20223 phút đọc

Mục lục bài viết

Các kiến thức về hàm số nói chung hay hàm số đồng biến trên r nói riêng là một trong các nền tảng cơ bản trong toán học. Và học sinh cần phải ghi nhớ định nghĩa và cách ứng dụng của chúng trong các bài toán thực tế. Vì thế mà, trong bài viết này, Monkey sẽ tập trung giải đáp các câu hỏi như: “Hàm số là gì?”, “Có các loại hàm số nào?”, “Hàm số đồng biến trên r khi nào?”, “Hàm số nghịch biến trên r khi nào?”...

1. Hàm số là gì?

Giả sử X và Y' là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc ƒ cho tương ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng ƒ là một hàm từ X vào Y, kí hiệu:

ƒ : X → Y 

X → ƒ(x)

Nếu X, Y là các tập hợp số thì ƒ được gọi là một hàm số. Trong chương trình Toán 9 chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là X ⊂ R và Y ⊂ R. X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số ƒ. Tập xác định thường được kí hiệu là D.

Số thực x ∈ X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực y = ƒ(x) ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị của ƒ(x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập giá trị (hay miền giá trị) của hàm số ƒ.

Hình ảnh minh họa định nghĩa về hàm số. (Ảnh: Sưu tầm Internet)

Ta cũng có thể định nghĩa hàm số như sau

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng. Chẳng hạn, y = 3 là một hàm hằng.

Kí hiệu: Khi y là hàm số của x, ta có thể kí hiệu là y = ƒ(x), hoặc y = g(x) hoặc y = h(x),...

Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y = ƒ(x) là tập con của R bao gồm các giá trị sao cho biểu thức ƒ(x) xác định.

2. Các dạng hàm số thường gặp

Trong thực tế, có rất nhiều dạng hàm số. Nhưng Monkey chỉ liệt kê bốn dạng cơ bản và thường gặp nhất dưới đây, để giúp các bạn học sinh dễ dàng ghi nhớ các kiến thức về hàm số dễ dàng hơn.

2.1 Hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba,...

  • Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a,b là các số cho trước và a ≠ 0. Khi b = 0 hàm số có dạng y = ax.

  • Hàm số bậc hai là hàm số có công thức y = ax^2+ bx + c (a≠0) và có miền xác định D = R.

  • Hàm số bậc ba là một hàm số có dạng y = ax^3+ bx^2 + cx + d trong đó a khác 0. Phương trình f(x) = 0 là một phương trình bậc ba có dạng ax^3+ bx^2 + cx + d = 0.

2.2 Hàm số lượng giác

Các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Có các hàm lượng giác cơ bản sau:

Xem thêm: Chi tiết lý thuyết và bài tập ứng dụng hàm số lượng giác, phương trình hàm số lượng giác trong toán học

2.3 Hàm số mũ

Hàm số mũ là hàm số có dạng y = a^x, (a>0; a≠1). Tính chất của hàm số mũ như sau:

  • Hàm số luôn dương với mọi giá trị của x.

  • Nếu a > 1 hàm đồng biến, 0 < a < 1 hàm nghịch biến.

  • Đồ thị nhận trục hoành làm đường tiệm cận và luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

  • Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit.

2.4 Hàm số logarit

  • Hàm logarit (logarithmic function) là hàm số có thể biểu diễn dưới dạng logarit, chẳng hạn y = log(x).
  • Logarit là số mà một số cố định, gọi là cơ số, phải lũy thừa lên để được một số cho trước. Cơ số thường được xác định trước và hàm số có thể được biểu diễn như sau: . Trong đó, x và y là hai biến số và a là cơ số.
  • Logarit thông thường có cơ số 10, còn logarit tự nhiên có cơ số e = 2.71828 và được viết như sau:

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến trên r

Trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên là hàm số phải xác định trên R đã.

Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên R. Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

  • Hàm số y=f(x) xác định trên R.

  • Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên R.

Ở điều kiện thứ 2 chúng ta cần chú ý là y’ có thể bằng 0 nhưng chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm (hoặc số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập đếm được).

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R, như sau:

Hàm số đa thức bậc 1

Hàm số đa thức bậc 3

Lưu ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được, ví dụ như: Hàm số bậc 2,4,...

4. Các dạng bài tập ứng dụng hàm số đồng biến nghịch biến trên r thường gặp

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

  • f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

  • f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

  • Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

  • Lập bảng xét dấu f’(x)

  • Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Bài tập mẫu dạng 1: Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Ta có: f’(x) = -6x2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Kiến thức chung

  • Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

  • Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

Chú ý: Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d

  • Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

  • Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  sao cho |x1 – x2| = k

Bài tập mẫu dạng 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1  luôn đồng biến khi:

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương

  • Bước 1: Tìm tập xác định

  • Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập mẫu dạng 3: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Bảng biến thiên:

Các bài tập mẫu khác

Bài tập 1: Cho hàm số y=x³+2(m-1)x²+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Hướng dẫn giải: 

Để y=x³+2(m-1)x²+3x-2  đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3≤0⇔-3≤m-1≤3⇔-2≤m≤4.

Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.

Bài tập 2: Cho hàm số y=mx³-mx²-(m+4)x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải: 

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m≠0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m²+3m(m+4)≤0. Giải các điều kiện ra ta được -3≤m<0.

Kết hợp 2 trường hợp ta được -3≤m≤0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trên đây là tất cả các kiến thức và dạng bài tập về hàm số đồng biến trên r. Bên cạnh đó Monkey còn bổ sung thêm các định nghĩa về hàm số nói chung và các dạng hàm số nói riêng như: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai,... Hàm số lượng giác, hàm số logarit và hàm số mũ. Hy vọng với những chia sẻ trên đây của Monkey sẽ giúp bạn phần nào trong việc ôn tập và ghi nhớ các kiến thức cần thiết trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia. Xin được đồng hành cùng bạn.

Ngân Hà
Ngân Hà
Biên tập viên tại Monkey

Tôi là Ngân Hà (Aly Ngân), biên tập viên đã có hơn 2 năm đảm nhận vị trí Content Marketing chuyên nghiệp, có kiến thức và kinh nghiệm viết bài về lĩnh vực giáo dục và sức khỏe,...

Bài viết liên quan

Bạn đang quan tâm đến các kiến thức nuôi dạy con đúng cách và hiệu quả?

Nhận tư vấn Monkey