Hàm số tuần hoàn là gì? Định nghĩa, công thức và bài tập có lời giải

Hàm số tuần hoàn là gì?

Định nghĩa hàm số tuần hoàn

Cho một hàm số f(x + P) = f(x), hàm số này được gọi là tuần hoàn nếu, với mỗi hàng số P khác 0 và đối với x thuộc trong miền đã xác định ta có: P hằng số khác 0 được gọi là chu kỳ của hàm số.

Nếu tồn tại ít nhất một hằng số (P) có tính chất này, thì nó có tên gọi là chu kỳ cơ bản hay còn có những tên gọi khác là chu kỳ cơ sở/ chu kỳ gốc. Đối với chu kì hàm số, thông thường khi nhắc tới thì sẽ được hiểu đó là chu kì cơ bản của hàm số đó. 

Với chu kỳ P của một hàm số sẽ lặp lại trên những khoảng có độ dài P lần, và những khoảng này trong một số trường hợp cũng được xem là chu kỳ của hàm số.

Về mặt hình học, hàm tuần hoàn có thể được định nghĩa như là một hàm mà đồ thị của nó thể hiện đối xứng tịnh tiến. Cụ thể, một hàm f tuần hoàn theo chu kỳ P nếu đồ thị của f là bất biến dưới phép tịnh tiến theo hướng x bởi một khoảng cách P.

Cách xét tính tuần hoàn của hàm số

Để xét một hàm số có tuần hoàn hay không, ta dựa vào định nghĩa hàm số tuần hoàn qua các bước sau:

Bước 1: Giả sử tồn tại một số thực $T \neq 0$ sao cho với mọi $x$ thuộc miền xác định $D$, ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$.

Bước 2: Nếu điều kiện trên đúng, kết luận hàm số $f(x)$ là hàm số tuần hoàn và $T$ là chu kỳ của nó.

Lưu ý: Các hàm lượng giác quen thuộc như $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều là hàm tuần hoàn.

Ví dụ minh họa:

• Với $y=\sin x$:

  $$\sin (x+2\pi )=\sin x\text{với mọi }x\in \mathbb{R}$$

  → $y=\sin x$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ $2\pi$.

• Với $y=\tan x\; nên\; ta\; có:$

  tan(x+π)=tanx với mọi x khác 2/π​+kπ, k∈Z

  → $y=\tan x$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ $\pi$.

Tính chất cơ bản của hàm số tuần hoàn

Ta đã tìm hiểu về định nghĩa cụ thể của hàm số tuần hoàn, tiếp theo đây cùng điểm qua một số tính chất cơ bản, cách nhận biết hàm số tuần hoàn ngay dưới đây:

• Nếu một hàm số f, tuần hoàn với chu kỳ P, thì với mọi số x thuộc trong miền xác định của f và mọi số nguyên n, ta có: f(x + nP)=f(x)

• Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ P, thì f(ax) với a là một số thực khác 0, hàm số tuần hoàn với chu kì P/|a|

Ví dụ: Hàm số f(x)=sin2x có chu kỳ 2π, do vậy sin(7x) sẽ có chu kỳ là 2π/7

Phương pháp giải chung cho các bài toán xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác.

Các dạng bài toán của hàm số tuần hoàn thường rất rộng và có nhiều dạng khác nhau, mỗi bài toán lại có một phương pháp giải riêng. Trong bài viết này, Monkey sẽ giới thiệu cho bạn 3 dạng bài toán tiêu biểu và cách giải chung của các bài toán này để bạn có thể tham khảo. 

Chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xét hàm số y = f(x) với tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T0, mà sao cho với mọi x ∈ D, ta có: x - T0 và x + T0 ∈ D (1); f(x + T0)=f(x) (2).

• Bước 2: Ta kết luận: Hàm số y=f(x) tuần hoàn.

Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số theo các bước:

Có nghĩa là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng.

• Bước 1: Giả sử cho một số T sao cho 0 < T <  T0 thoả mãn tính chất của (2): x∈D, f(x + T) = f(x) ⇔ …⇒ mâu thuẫn với giả thiết  0 < T < T0.

• Bước 2: Xảy ra mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (2).

• Bước 3: Vậy ta kết luận được: Hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0.

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả sau đây:

• Hàm số y = sinx và y = cosx có chu kì tuần hoàn là 2π; Mở rộng: Đối với hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b), điều kiện: a ≠ 0, tuần hoàn với chu kì: 2π/a.

• Hàm số y = tanx và y = cotx có chu kì tuần hoàn là π; Mở rộng: Đối với hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b), điều kiện: a ≠ 0, tuần hoàn với chu kì: π/a.

• Kết hợp với kết quả của định lý dưới đây:

  • Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với điều kiện a/b ∈ Q. Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x),  G(x) =  f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên tập M.
  • Mở rộng: Đối với hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T, với T là bội số chung nhỏ nhất của a và b.

Một số bài toán hàm tuần hoàn có lời giải hay

Sau khi đã biết được hàm số tuần hoàn là hàm số như thế nào? Dưới đây là một số bài toán và phương pháp giải chi tiết để các em tham khảo:

Phương pháp giải

Trước khi đi vào một số ví dụ cụ thể, chúng ta cần nằm qua các kiến thức cơ bản, cũng như phương pháp giải ngay dưới đây:

• Hàm số y= f(x) được xác định trên tập hợp D được gọi là một hàm số tuần hoàn với điều kiện: T ≠ 0 mà với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f(x+T)=f(x).

• Trong trường hợp có số T(dương) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

• Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):

• Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|

• Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|

• Với hàm số y= f(x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f(x)+ b.g(x) là T, T được xác định bằng bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Xem thêm: Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Một số ví dụ cụ thể: 

Ví dụ 1: Cho các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sin(x)

B. y = x + 1

C. y= x^2

D. y=(x-1)/(x+2) .

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D , sin(x+2kπ)=sinx. Vậy y=sinx là hàm số tuần hoàn.

Đáp án: A

Ví dụ 2: Chu kỳ của hàm số y= cotx là:

A. 2π

B. π/4

C. kπ,k ∈ Z

D. π

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số: D= R\{π/2+κπ,k ∈ Z }

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D;x+kπ ∈ D và cot (x+kπ)=cotx

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k = 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cot (x+kπ)=cotx

Đáp án: D

Ví dụ 3: Tìm chu kì của hàm số: y=sin⁡( 2x- π)+ 1/2 tan⁡( x+ π)

Hướng dẫn giải:

Hàm số y= f(x) = sin( 2x- π) có chu kì T1= 2π/2= π.

Hàm số y= g(x)= 1/2 tan⁡( x+ π) có chu kì T2= π/1= π

Kết luận: Chu kì của hàm số đã cho là: T= π.

Ví dụ 4: Tìm chu kì T của hàm số y= 2cos2x + 4π.

Hướng dẫn giải:

Ta có y= 2cos2x + 4π = cos2x + 1+ 4π.

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T= π.

Các bài viết không thể bỏ lỡ

Monkey Math - Vừa học toán tư duy vừa phát triển ngoại ngữ tiết kiệm

Nguyên hàm lượng giác: Khái niệm, công thức, mẹo giải và bài tập chi tiết

Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập xét tính tuần hoàn hàm số để bé tự luyện

Khi đã nhận biết được hàm số nào là hàm số tuần hoàn? Dưới đây là một số bài tập để các em áp dụng định nghĩa để thực hành hiệu quả:

FAQ - Một số câu hỏi thường gặp

1. Hàm số tuần hoàn là gì?

Hàm số tuần hoàn là hàm mà giá trị của nó lặp lại sau một khoảng cố định P, nghĩa là $f(x+P)=f(x)$ với mọi x trong miền xác định.

2. Chu kỳ của hàm số là gì?

Chu kỳ là khoảng nhỏ nhất P > 0 mà sau đó hàm số lặp lại giá trị. Chu kỳ cho biết mức độ lặp lại của hàm.

3. Làm thế nào để biết một hàm số có tuần hoàn hay không?

Ta kiểm tra xem có tồn tại $P \neq 0$ sao cho $f(x+P)=f(x)$ với mọi x thuộc miền xác định của hàm. Nếu có, hàm đó là tuần hoàn.

4. Những hàm số nào thường gặp có tính tuần hoàn?

Các hàm lượng giác như $y=\sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là những ví dụ điển hình.

5. Chu kỳ của các hàm lượng giác cơ bản là bao nhiêu?

y = sin x và y = cos x: chu kỳ

y = tan x và y = cot x: chu kỳ

6. Đồ thị của hàm tuần hoàn có đặc điểm gì?

Đồ thị của hàm tuần hoàn lặp lại theo chiều ngang sau mỗi đoạn có độ dài bằng chu kỳ p. Nói cách khác, nó bất biến khi tịnh tiến theo trục hoành một khoảng p.

Qua bài viết trên, Monkey hy vọng đã cung cấp cho bạn nguồn thông tin bổ ích về hàm số tuần hoàn. Kiến thức bao giờ cũng được dạy từ gốc, thế nhưng với lượng thông tin quá nhiều phải tiếp thu, nhiều học sinh thường quên những gì mình đã được dạy.

Thấu hiểu được điều đó, Monkey đã tạo ra chuyên mục "Kiến thức cơ bản", nơi các bạn có thể ôn lại những kiến thức cũ và học hỏi thêm những điều thú vị mà đôi khi nhà trường không nhắc tới.