Công thức và cách giải bài tập ứng dụng đạo hàm trong vật lý chi tiết

Ứng dụng đạo hàm trong vật lý là gì?

Toán học được biết đến là bộ môn có ứng dụng rất cao trong đời sống thực tiễn, cũng như là nền tảng của nhiều môn học khác, điển hình như vật lý. Nền tảng cơ bản nhưng quan trọng của vật lý chính là tìm hiểu đối tượng của một vật chất hoạt động như thế nào, phản ứng lại với nội lực tác động lên nó hay đó là ngoại lực.

Cụ thể, ý nghĩa vật lý của đạo hàm sẽ có 3 đại lượng mô tả điều này rõ nhất chính là gia tốc của vật tại thời gian xác định cụ thể, vận tốc và vị trí (quãng đường).

Nhưng trên thực tế, không có công thức tính gia tốc, vận tốc hay biểu diễn sự liên quan giữa 3 đại lượng trên, chính vì vậy chúng sẽ kế thừa thành tựu từ toán học đó chính là đạo hàm.

Về lý thuyết, ứng dụng của đạo hàm trong vật lý sẽ xem xét sự thay đổi của đại lượng này và đại lượng kia. Như:

• Trong nhiệt động lực học: Ứng dụng đạo hàm giúp tính được tốc độ thay đổi của nhiệt độ.

• Trong động lực học: Ứng dụng đạo hàm để tính gia tốc, đạo hàm vận tốc của vật cụ thể.

Đó được xem là một trong những ứng dụng đạo hàm trong vật lý phổ biến và quan trọng.

Công thức tính đạo hàm trong vật lý

Theo Wiki thì công thức tính đạo hàm trong vật lý sẽ có 3 dạng cơ bản sau:

Vận tốc tức thời

Một chuyển động thẳng có phương trình biểu diễn dưới dạng s = s(t) sẽ được xem như là một hàm số có đạo hàm, lúc này vận tốc tức thời sẽ được xác định dựa trên công thức sau:

Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn cũng được  xem như là một hàm số thời gian của t hay Q = Q(t) tương ứng với cường độ trung bình của một dòng điện được xác định tại mốc thời gian nhất định.

Công thức tính cường độ tức thời của dòng điện được áp dụng đạo hàm được tính như sau:

Gia tốc tức thời

Trong đạo hàm cấp 2 ta có phương trình f’’(t) thì trong vật lý đó chính là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Tất cả kiến thức về ý nghĩa của đạo hàm trong vật lý đều được phân tích rõ trong sách Đại Số và Giải Tích lớp 11, sách giáo viên đại số Giải Tích 11 nâng cao hay sách nâng cao Đại số và Giải Tích 11 nâng cao mà các em có thể tìm hiểu thêm.

Bài tập ứng dụng đạo hàm trong vật lý như thế nào?

Trong vật lý, thường đạo hàm được ứng dụng khi làm bài tập như sau:

• Cho một vật chuyển động được biểu diễn dưới dạng phương trình là s = s(t). Lúc này, vận tốc tức thời ở thời điểm t₀ sẽ được xác định dựa trên công thức v(t₀) = s’(t₀).

• Cho một vật chuyển động được biểu diễn dưới dạng phương trình tương ứng như đạo hàm là v = v(t). Lúc này, để đính gia tốc tức thời ở thời điểm t₀ sẽ được xác định dựa trên công thức a(t₀) = v’(t₀).

• Còn đối với cường độ tức thời của một điện lượng cho trước được biểu diễn dưới dạng phương trình là Q = Q(t), thì để tính tại thời điểm tức thời t₀ ta sẽ áp dụng theo công thức là I(t₀) = Q’(t₀).

Ví dụ 1:

Có một xe máy chuyển động được biểu diễn theo phương trình tương ứng cho trước là s(t)= t2 + 6t+ 10. Trong đó s là quãng đường đi được (m) và t là đơn vị thời gian (s). Yêu cầu tính vận tốc tức thời ngay thời điểm t = 3.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào phương trình chuyển động trên, ta suy ra được phương trình tính vận tốc của xe tương ứng là v(t)=s' (t)=2t+6 (m/s).

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là: V(3)= 2. 3+ 6= 12(m/s)

Ví dụ 2:

Có một vật chuyển động được biểu diễn dưới dạng phương trình cho trước là v = 4t + 10 (m/s). Yêu cầu hãy tính gia tốc tức thời tại thời điểm chuyển động tương ứng là t = 10s?

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính gia tốc trong đạo hàm của chuyển động tương ứng là a(t) = v’(t) = 4 (m/s).

Lúc này ta có gia tốc của vật chuyển động tương ứng là 4m/s – không thay đổi.

Ví dụ 3:

Cho một vật di chuyển theo phương trình cho trước là s(t) = t2 – 40t + 10. Trong đó t là thời gian chuyển động (s), s là quãng đường di chuyển của vật (m). Hỏi tại thời điểm nào thì vật sẽ dừng lại?

Hướng dẫn giải

Dựa theo phương trình trên, ta có phương trình tính vận tốc chuyển động tương ứng là v(t)=s' (t)= 2t- 40 (m/s).

Khi vật bắt đầu dừng lại có nghĩa vận tốc tức thời sẽ được tính bằng 0. Lúc này ta sẽ có phương trình tương ứng là 2t – 40= 0 ⇔ t= 20 (s).

Kết luận: sau 20s chuyển động từ khi khởi hành thì vật sẽ dừng lại.

Các bài viết không thể bỏ lỡ

Monkey Math - Ứng dụng học toán tiếng Anh chỉ với 2K/Ngày

Gợi ý bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế và cách học hiệu quả

Gợi ý 20+ bài tập đạo hàm nâng cao giúp học sinh rèn luyện mỗi ngày

Danh sách bài toán ứng dụng đạo hàm lớp 11 tự luyện

Sau khi nắm được một số công thức về tính đạo hàm trong vật lý, dưới đây là một số bài tập tham khảo để các em có thể tự luyện.

Xem thêm: Gợi ý bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế và cách học hiệu quả

Kết luận

Trên đây là tổng hợp những thông tin về bài tập ứng dụng đạo hàm trong vật lý. Qua đó có thể thấy được sự hỗ trợ cho nhau của hai chuyên đề này khá thú vị. Hy vọng dựa vào những chia sẻ trên sẽ giúp các em thấy được tầm quan trọng của đạo hàm và ứng dụng để giải toán hiệu quả hơn.