Đạo hàm arctan x – Công thức, ví dụ và bài tập có đáp án

Đạo hàm lượng giác là những hàm số tuyến tính được ứng dụng nhiều trong hình học và vật lý. Tuy nhiên, những hàm này khá khó nhớ, đặc biệt là đạo hàm arctan x, gây khó khăn cho người học. Vậy để có thể hiểu và nhớ lâu hơn, ta cần phải hiểu được bản chất của nó cũng như phải thường xuyên luyện tập. Cùng tìm hiểu về đạo hàm của arctan x qua bài viết sau nhé!

BẢN AUDIO TÓM TẮT NHANH BÀI VIẾT

Hàm số y = arctan x là gì?

Để tìm hiểu về đạo hàm arctan x, đầu tiên ta cần hiểu về công thức hàm số gốc của nó là y = arctan x. Vậy hàm số y = arctan x là gì? Cùng tìm hiểu về định nghĩa, hình dáng đồ thị và các quy tắc cần nhớ của hàm số này ngay sau đây nhé!

Định nghĩa

Về định nghĩa, hàm số y = arctan x là hàm tiếp tuyến ngược của x khi x thuộc tập hợp số thực ( x=R). Với hàm tiếp tuyến của y bằng x có công thức là tan y = x thì khi đó arctan của x sẽ bằng hàm tiếp tuyến ngược của x với công thức y = arctan x = tan ^(-1) . x

Lấy ví dụ: Cho y = arctan x với x bằng 1. Suy ra y = arctan 1 = tan ^(-1). 1 = π / 4 rad = 45 °

Hình dáng đồ thị

Đồ thị của hàm số y = arctan x hay còn gọi f (x) = arctan x có dạng đường cong tiếp tuyến đối xứng qua trục tọa độ. Hàm số nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ 3, cách đều với trục tung.

Quy tắc cần nhớ

Để vận dụng được hàm số y = arctan x trong giải toán, ta cần phải nắm rõ các quy tắc arctan để có thể vận dụng một cách linh hoạt nhất. Bảng dưới đây chúng tôi đã hệ thống lại các quy tắc cần nhớ của hàm số này.

Quy tắc Arctan

Các quy tắc	Quy ước
Tan của arctan x	tan ( arctan x ) = x
Arctan của lập luận phủ định với arctan x	arctan ( - x ) = - arctan x
Arctan của tổng	arctan α + arctan β = arctan [ ( α + β ) / (1- αβ ) ]
Arctan khác biệt của góc α và β	arctan α - arctan β = arctan [ ( α - β ) / (1+ αβ ) ]
Sin của arctan x	sin ( arctan x ) = x/ căn (1 + x^2)
Cosin của arctan x	cos ( arctan x ) = 1/ căn (1 + x^2)
Đối số đối ứng
Arctan x được suy ra từ arcsin x	arctan x = arcsin x/ căn (x^2 + 1)
Đạo hàm của arctan x
Tích phân không xác định của arctan x

Công thức tính đạo hàm của hàm số y = arctan x

Trong toán học, ngoài các bài toán có kết quả giới hạn thì cũng có vô số các bài toán thuộc tập hợp vô hạn, có nghĩa là tập hợp chạy đến vô cùng. Điều này đặt ra rằng ta cần phải tìm giới hạn của các tập hợp số đó. Từ đó mà ta xuất hiện các khái niệm giới hạn lim và các công thức đạo hàm.

Đạo hàm được định nghĩa là tỉ số giữa số gia của hàm số đó với số gia của đối số đó tại điểm cụ thể là x0, khi đó thì số gia đối số tiến sát đến 0 chính là đạo hàm của hàm y = f (x) tại x0. Đạo hàm được ứng dụng nhiều trong việc giải bài toán lượng giác, các bài toán thực tế về các lĩnh vực vật lý, hoá học, sinh học hay kỹ thuật, đặc biệt là đạo hàm arctan x.

Quy tắc tính đạo hàm nói chung

Nói về quy tắc tính đạo hàm tức là nói đến cả một hệ thống các quy tắc tổng quan nhất mà bạn cần phải nhớ. Có như vậy sau này bạn mới có thể hiểu và xây dựng được các công thức tính đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao, ví dụ như đạo hàm arctan x.

Hệ thống quy tắc tính đạo hàm gồm 6 quy tắc dưới đây:

Quy tắc đạo hàm về cộng, trừ nhiều hàm số: (u + v - w )' = u' + v' - w'
Quy tắc đạo hàm về hằng số: (ku)' = ku' trong đó k là hằng số, u là hàm số
Quy tắc đạo hàm về phép nhân hai hàm số (u.v)' = u'.v + u.v'
Quy tắc đạo hàm của phân số (u/v)′=(u′v - uv')/v^2
Quy tắc đạo hàm của hàm ngược(1/v)′=−v′/v^2
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp dạng y(u(x): [y(u(x))]' = [y(u)]'.[u(x)]'

Trong đó, với ký hiệu dấu phẩy trên có nghĩa là ký hiệu đạo hàm. Các ký hiệu u; v ; w là các hàm số u = u(x); v = v(x); w = w(x).

Xem thêm: Công thức tính đạo hàm arctan u và các dạng bài tập tự luyện

Cách tính đạo hàm của hàm số y = arctan x

Ở các phần trên, chúng tôi đã giới thiệu cơ bản về hàm số y = arctan x và các quy tắc tính đạo hàm. Vậy thì đạo hàm của hàm số y = arctan x là gì? Nó có cách tính như thế nào? Cùng tìm hiểu ngay ở phần này nhé!

Để tính được đạo hàm của hàm số y = arctan x, ta sử dụng từ định nghĩa hàm arctan x.

Với tan y = x, lấy đạo hàm 2 vế theo biến x, ta được:

Từ đó suy ra cách tính đạo hàm của hàm số y = arctan x là:

Một số dạng bài tập để tự luyện

Dạng bài	Mô tả	Ví dụ minh họa
1. Tính đạo hàm cơ bản	Áp dụng trực tiếp công thức	Tính $y'$ nếu $y = \arctan x$ → $y' = \frac{1}{1 + x^2}$
2. Đạo hàm hàm hợp (u = f(x))	Dùng quy tắc chuỗi: $(\arctan u)' = \frac{u'}{1 + u^2}$	$y = \arctan(2x + 1)$ → $y' = \frac{2}{1 + (2x + 1)^2}$
3. Đạo hàm tích hợp với các phép toán khác	Dùng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia kết hợp với đạo hàm arctan	$y = x \arctan x$ → $y' = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$
4. Đạo hàm các biểu thức chứa arctan phức tạp	Dạng chứa căn, phân thức hoặc tổ hợp nhiều hàm	$y = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)$
5. Ứng dụng tính đạo hàm trong bài toán cực trị	Dùng đạo hàm arctan để tìm điểm cực đại, cực tiểu hoặc khảo sát hàm	$y = \arctan(x) - \frac{x}{1 + x^2}$ → Tìm cực trị bằng cách giải $y' = 0$

Bài tập vận dụng

Bài tập tự luyện

Tính đạo hàm của $y = \arctan(2x - 1)$
Tính đạo hàm của $y = \arctan(x^3) + \arctan(x)$
Tính đạo hàm của $y = \frac{\arctan x}{x}$
Tính đạo hàm của $y = \arctan\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$
Tính đạo hàm của $y = \arctan(\sqrt{x})$

FAQ - Một số câu hỏi thường gặp

Đạo hàm của arctan(x) là gì?

Đạo hàm của hàm số arctan(x) được xác định bởi công thức:

$\frac{d}{d x} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Công thức này đúng với mọi giá trị thực của x.

Cách tính đạo hàm của arctan(u) khi u là hàm của x?

Áp dụng quy tắc chuỗi:

$\frac{d}{d x} [\arctan (u)] = \frac{u^{'}}{1 + u^{2}}$

Trong đó $u'$ là đạo hàm của u theo x.

Ví dụ: Nếu $y = \arctan(2x + 1)$ thì $y' = \frac{2}{1 + (2x + 1)^2}$

Có thể dùng công thức đạo hàm arctan(x) trong các bài toán phức tạp không?

Có. Công thức này thường được sử dụng trong:

Tính đạo hàm các biểu thức chứa arctan(u).
Giải các bài toán tích phân có chứa $\frac{1}{1 + x^2}$ .
Khảo sát và tìm cực trị của các hàm có chứa arctan(x).

Làm thế nào để nhớ nhanh công thức đạo hàm của arctan(x)?

Một mẹo dễ nhớ: đạo hàm của arctan(x) có mẫu luôn là “1 + x²”, khác với đạo hàm của arccot(x) có dấu trừ.
Ghi nhớ:

$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
$(\arccot x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Đạo hàm của arctan(1/x) bằng bao nhiêu?

Áp dụng quy tắc chuỗi:

$y^{'} = \frac{(1 / x)^{'}}{1 + (1 / x)^{2}} = \frac{- 1 / x^{2}}{1 + 1 / x^{2}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Kết quả: $y' = -\frac{1}{x^2 + 1}$

Có mối liên hệ nào giữa đạo hàm arctan(x) và tích phân không?

Có. Vì $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}$ , nên ngược lại:

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C$

Điều này rất hữu ích trong các bài tập tích phân cơ bản.

Lỗi thường gặp khi làm bài đạo hàm arctan(x) là gì?

Một số lỗi phổ biến gồm:

Quên nhân thêm $u'$ khi tính đạo hàm của $\arctan(u)$ .
Nhầm dấu khi so sánh với arccot(x).
Viết sai mẫu (nhiều bạn viết nhầm $1 - x^2$ thay vì $1 + x^2$ ).

Đạo hàm arctan x là một công thức đạo hàm quan trọng và khá khó nhớ. Vì vậy, để có thể nhớ được lâu, ta cần phải thực sự hiểu về nó và luyện tập nó thường xuyên. Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về đạo hàm arctan.